On suppose que le joueur A est professeur de maths donc expérimenté au jeu, et que le joueur B est un novice ne connaissant pas les subtilités du jeu.
On a besoin de 2 règles pour résoudre l'énigme :
1 - Si l'on soustrait 2 nombres impairs entre eux, le résultat est pair.
2 - Si l'on soustrait un nombre impair à un pair, le résultat est impair.

► Démonstration :

Soient k et k' dans \(\mathbb Z\),
(2k + 1) - (2k' + 1) = 2(k-k') est pair, la règle 1 est vérifiée.
(2k) - (2k' + 1) = 2(k-k') - 1 est impair, la règle 2 est vérifiée.

Il existe une stratégie gagnante pour A en 2019 et en 2020.
Lorsque A joue, il a 2 possibilités :
- Enlever un nombre pair (forcément 2),
- Enlever un nombre premier impair ou 1.
Ce qu'il doit enlever dépend du nombre qu'il a en face de lui.

Face à un nombre impair, on pourrait penser qu'il suffit que A enlève un premier impair, pour que le résultat de la soustraction soit pair (d'après la règle 1). En laissant un nombre pair, A est a priori sûr que B ne puisse pas gagner, puisqu'il n'existe pas de premier pair autre que 2, et on se doute qu'un joueur aguerri comme A ne laissera pas juste 2.
Seulement, il existe plusieurs formes de multiples de 2. Ce peut être un multiple de la forme 2k\(\times\)2 (un nombre pair multiplié par 2) ou bien 2(2k+1) (un nombre impair multiplié par 2).
Si, par mégarde, A a laissé un pair de forme 2(2k+1), B n'a qu'à enlever 2 tant que A enlève 2 pour gagner. A serait effectivement bloqué ensuite car s'il enlève un impair, le résultat sera impair donc B aura plus de chances de gagner (il enlèverait un impair pour que le résultat soit pair, donc A ne gagne pas). Si A enlève 2, le résultat est encore pair et B peut gagner en enlevant à nouveau 2 : comme il y a 2(2k+1) allumettes, celui qui enlève 2 en premier enlève aussi 2 en dernier (et la parade consiste pour B à enlever 2 en premier).
A doit donc bien enlever un premier impair lorsqu'il est face à un nombre impair, mais pas n'importe lequel ; c'est ce que nous allons déterminer.

A chaque fois, A enlève un premier impair de forme 2p+1, et on va chercher la parité de p selon les cas, pour que le résultat soit un multiple de 4 (il faut que A laisse un pair de forme 2m*2 = 4m et pas de forme 2(2m+1)).
Pour chaque cas, c'est au tour de A.

↳ Face à un nombre impair de forme 2k+1, avec k impair :
On a 2k+1 - (2p+1) = 4m
donc - 2p = 4m - 2k
donc p = k - 2m
Ici, k est impair et 2m est pair, la soustraction donne un résultat impair.
On en conclut que dans ce cas là, A doit enlever un premier de forme 2p+1 avec p impair.

↳ Face à un nombre impair de forme 2k+1, avec k pair :
On a toujours 2k+1 - (2p+1) = 4m
donc p = k - 2m
Ici, k est pair et 2m est pair, la soustraction donne un résultat pair.
On en conclut que dans ce cas là, A doit enlever un premier de forme 2p+1 avec p pair.

En conséquence,
En 2019 : A commence et suit les 2 méthodes ci-dessus,
il peut par exemple enlever 2003 (1001\(\times\)2+1) car 2019 = 1009\(\times\)2+1 et le résultat sera un multiple de 4, mais A ne doit pas enlever 1009 (504\(\times\)2+1) car le résultat ne sera pas multiple de 4, et B peut utiliser sa parade (enlever 2 systématiquement).
Ensuite, soit B enlève un impair, auquel cas le résultat est impair, et A doit regarder de quelle forme il est afin de suivre la méthode correspondante ; soit B enlève 2, auquel cas A doit également enlever 2, et ce tant que B enlève 2. En effet, B enlève 2 sur un pair de la forme 2(2k), ce qui veut dire que s'il enlève 2 en premier, A enlèvera 2 en dernier, et gagnera.
Si A ne fait pas d'erreurs, il est donc toujours gagnant en 2019.

En 2020 : B commence et a 2 possibilités,
soit il enlève un premier impair, auquel cas le résultat est impair (d'après la règle 2), A n'a qu'à suivre la bonne méthode selon la forme de l'impair pour gagner ; soit B enlève 2, auquel cas A doit enlever 2. Comme 2020 = 1010\(\times\)2, si B enlève 2 en premier, il n'enlèvera pas 2 en dernier.

En conclusion, la stratégie en 2019 est pour A de commencer, afin d'enlever un "bon" premier impair et de laisser un pair qui ne puisse pas permettre à B de gagner en enlevant 2. En 2020, peu importe ce que B enlève en commençant, A est sûr de gagner car il se retrouvera face à un impair comme en 2019 ou face à un pair qui le fait gagner si les 2 joueurs enlèvent systématiquement 2.
Ce prof de maths est donc bien malin en commençant en 2019 et en laissant B commencer en 2020 !

Par Samy VINCENT