Rappel de l'énoncé

Les plans coloriés.

On dira qu'un plan est colorié lorsqu'on a attribué à chaque point de ce plan une couleur.

Une définition.

Soit P un plan colorié.

On dira qu'une couleur c est complète (relativement à P), si pour chaque nombre réel d > 0, il existe au moins un couple de points (A,B) du plan P, tous deux de couleur c, tel que la distance de A à B est égale à d.

Un plan bicolore.

On colorie un plan avec du rouge et du vert (chaque point du plan a donc soit la couleur rouge, soit la couleur verte).

Est-il vrai qu'au moins l'une des deux couleurs est complète relativement à ce plan ?

Les trouveurs

Une seule résolution, de Samy Vincent.

Résolution.

On peut déjà remarquer que si une seule couleur est effectivement utilisée, alors elle est évidemment complète. On peut donc se placer a priori dans le cas où il existe des points verts et des points rouges.

On raisonne par l'absurde: on suppose que les deux couleurs sont incomplètes et on montre que cela mène à une contradiction.

Si les deux couleurs ne sont pas complètes, il existe un réel v > 0  tel que la distance entre deux points verts n'est jamais v et il existe un réel r > 0 tel que la distance entre deux points rouges n'est jamais r.

On a soit  r ≤ v, soit v < r.

Plaçons nous dans le cas r ≤ v.

Soit A un point vert.

On trace un cercle C₁ de centre A et de rayon v. Ce cercle est uniquement constitué de points rouges (car avec un point B vert sur ce cercle, on aurait une distance AB = v entre deux points verts, ce qui est impossible d'après notre hypothèse).

Prenons alors un point B sur ce cercle et traçons un cercle C₂ de centre B et de rayon r. Ce cercle est entièrement vert (car avec un point C rouge sur ce cercle, on aurait une distance BC = r entre deux points rouges, ce qui est impossible par notre hypothèse).

Comme r ≤ v, le cercle C₂ coupe C₁ . Mais à l'intersection des deux cercles, on aurait  des points à la fois vert et rouge. Contradiction.

Cas r > v.

On montre de la même façon que cette situation est impossible.

Conclusion.

L'une des deux couleurs au moins est complète.

Remarque

Samy s'est posé la question lors de sa recherche de la validité de la propriété en dimension 1.

La conclusion de sa recherche est que cette propriété est fausse sur une droite.

Imaginons en effet que la droite soit graduée et colorions en rouge [0;1[, [2;3[; [4;5[.... ainsi que [-2;-1[, [-4;-3[.... et en vert [1;2[, [3;4[ ... ainsi que [-1;0[, [-3;-2[... Il est alors facile de vérifier que la distance 1 n'est réalisée par aucune des deux couleurs sur cette droite.